Exemplo válido
B R P
Beco Estreito se relaciona com Praça do Peixe porque existe uma aresta entre eles.
01
Matemática Discreta
Vila dos Miados
Funções no grafo, relações e interpretação dos caminhos mínimos
Grupo
- Brenno Franco Vergitz
- Gustavo Leandro Almeida de Andrade
- Kauan Ferdinando Decarli
- Rômulo Henrique Zaneran Braun
Professora: Wilcilene Maria Kowal
02
Enfoque do grupo
Como ler o problema a partir das funções e relações
Nosso foco é explicar como as funções ligadas ao grafo ajudam a interpretar os resultados.
- Relacionar lugares da vila pela adjacência.
- Usar funções para atribuir peso e tipo a cada caminho.
- Interpretar por que uma rota é melhor que outra.
- Mostrar que o menor caminho depende da soma dos pesos.
03
Contexto
Da vila fictícia para uma estrutura matemática
A Vila dos Miados é uma comunidade fictícia de gatos com lugares e passagens possíveis.
- Lugares da vila viram vértices.
- Passagens diretas viram arestas.
- Tempo, esforço ou risco viram pesos.
Objetivo
Usar Dijkstra para descobrir o caminho de menor custo entre dois pontos da vila.
04
Grafo ponderado
Modelagem usada no trabalho
10vértices
20arestas
4tipos de rota
O grafo é ponderado e não direcionado: cada caminho tem peso e pode ser percorrido nos dois sentidos.
05
Leitura visual
O grafo não precisa ser um mapa em escala
conexões ≠ mapa real
As linhas mostram quais lugares estão conectados, não a posição física exata de cada caminho.
Por que algumas linhas se cruzam?
Porque o desenho é um diagrama abstrato. Cruzamentos visuais não criam novas passagens e não significam que o gato pode trocar de rota naquele ponto.
O algoritmo considera apenas as arestas definidas na tabela do grafo.
06
Relação de adjacência
Quando dois lugares se relacionam?
a R b
se, e somente se, existe uma aresta direta entre a e b.
Exemplo não usado
T R T
Telhado Central não se relaciona com ele mesmo, porque não criamos laços no grafo.
07
Propriedades da relação
O que a relação mostra sobre a vila
Simétrica
Se existe caminho de A para B, também existe de B para A, pois o grafo é não direcionado.
Não reflexiva
Não há arestas de um lugar para ele mesmo, então A R A não aparece na modelagem.
Não necessariamente transitiva
Se A liga com B e B liga com C, isso não garante uma ligação direta entre A e C.
08
Foco matemático
Funções ligadas ao grafo
w: E → ℕ
Peso da aresta
Recebe uma aresta e devolve um número natural que representa custo, tempo, esforço ou risco.
w(B — P) = 2tipo: E → T
Classificação da rota
Indica se a aresta é rápida, segura, arriscada ou comum, ajudando a interpretar a escolha do caminho.
tipo(T — J) = seguraAs funções dão significado ao grafo: não vemos apenas linhas, vemos custos e tipos de caminho.
09
Algoritmo
Como o Dijkstra decide a melhor rota
- Começa com distância 0 na origem e infinito nos outros vértices.
- Escolhe o vértice não visitado com menor distância acumulada.
- Atualiza os vizinhos se encontrar um caminho mais barato.
- Repete até chegar ao destino ou esgotar as opções.
Condição
Dijkstra funciona corretamente quando os pesos das arestas são não negativos. Na vila, todos os pesos são positivos.
10
Exemplo principal
Passo a passo resumido: M → F
InícioM = 0; todos os outros = ∞
1. Escolhe MB = 3, Q = 4, T = 6, E = 6, C = 8
2. Escolhe BP recebe custo 3 + 2 = 5
3. Analisa QE ficaria 4 + 2 = 6, mas já tinha custo 6
4. Escolhe PF recebe custo 5 + 3 = 8
5. Chega em FCaminho reconstruído: M → B → P → F
M → B → P → F
3 + 2 + 3 = 8
11
Resultados
Testes e interpretação
M → B → P → F
Mais importante que a aparência visual é a soma dos pesos.T → C → P → F
Empata com T → B → P → F; as duas respostas são corretas.J → E → P
A rota inferior evita o Telhado Central e mantém custo competitivo.12
Fechamento
Conclusão
A Vila dos Miados mostra como relações, funções e grafos transformam uma situação fictícia em um modelo matemático.
O menor caminho não depende da quantidade de trechos, mas da menor soma de pesos. Por isso, Dijkstra permite comparar rotas de forma objetiva.
Relações · Funções · Grafos · Dijkstra